\chapter{达朗贝尔在1746年对弦振动方程的推导及其历史意义}

	\begin{abstract}
		本文详细考察了让·勒朗·达朗贝尔(Jean le Rond d'Alembert,1717-1783)在1746年首次推导一维弦振动方程的历史过程。通过分析其原始论文《关于弦振动的研究》(Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration)中的数学推导，本文再现了达朗贝尔如何将牛顿力学应用于连续介质问题，建立偏微分方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 的过程。文章还讨论了这一工作对数学物理发展的深远影响。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1746年，达朗贝尔向柏林科学院提交了关于弦振动问题的开创性研究，这是数学史上首次明确建立并求解偏微分方程的案例之一。这一工作不仅解决了自泰勒(Brook Taylor, 1713)、伯努利(Daniel Bernoulli, 1732)以来关于振动弦的争论，更开辟了数学物理的新领域。
	
	\section{达朗贝尔的推导过程}
	\subsection{物理假设}
	达朗贝尔基于以下假设：
	\begin{enumerate}
		\item 弦是均匀、完全柔性的
		\item 振动发生在平面内且振幅微小
		\item 张力 $T$ 沿弦保持恒定
		\item 重力影响可忽略
	\end{enumerate}
	
	\subsection{数学建模}
	设 $u(x,t)$ 表示弦在位置 $x$ 和时间 $t$ 的横向位移。考虑弦的微元 $dx$，其运动方程为：
	
	\begin{equation}
		T \left( \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x+dx} - \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_x \right) = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
	\end{equation}
	
	其中 $\rho$ 为线密度。展开后得到：
	
	\begin{equation}
		T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
	\end{equation}
	
	简化后即为一维波动方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
	\end{equation}
	
	其中波速 $c = \sqrt{T/\rho}$。
	
	\subsection{通解推导}
	达朗贝尔通过变量代换 $\xi = x + ct$, $\eta = x - ct$，将方程转化为：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0
	\end{equation}
	
	积分后得到著名的达朗贝尔解：
	
	\begin{equation}
		u(x,t) = f(x + ct) + g(x - ct)
	\end{equation}
	
	其中 $f$ 和 $g$ 为任意函数，由初始条件确定。
	
	\section{历史意义}
	达朗贝尔的工作具有多重历史意义：
	\begin{itemize}
		\item 首次明确建立并求解偏微分方程
		\item 引发关于函数概念的数学争论(欧拉、达朗贝尔、伯努利)
		\item 为傅里叶分析奠定基础
		\item 开创连续介质力学的研究范式
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	达朗贝尔对弦振动问题的研究标志着数学物理的重要转折点。他不仅解决了具体的物理问题，更发展出处理连续系统的新数学工具，对后续偏微分方程理论、分析力学和数学物理的发展产生了深远影响。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{dAlembert1747} 
		d'Alembert, J. (1747). \textit{Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration}. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin, 3, 214-219.
		
		\bibitem{Kline1972}
		Kline, M. (1972). \textit{Mathematical Thought from Ancient to Modern Times}. Oxford University Press. (中译本《古今数学思想》)
		
		\bibitem{Cannon2002}
		Cannon, J. T., \& Dostrovsky, S. (2002). \textit{The Evolution of Dynamics: Vibration Theory from 1687 to 1742}. Springer.
	\end{thebibliography}
	